原標題：數(shù)學的起源

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數(shù)學演化的歷史

動物也具有數(shù)學本能。

比如，蜜蜂建造的蜂巢，是嚴格的六角柱形體。它的一端是六角形開口，另一端則是封閉的六角棱錐體的底，由三個相同的菱形組成。這些蜂巢組成底盤的菱形的所有鈍角都是109°28′，所有的銳角都是70°32′。后來法國數(shù)學家克尼格和蘇格蘭數(shù)學家馬克洛林計算得知：如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是這個角度。

丹頂鶴遷徙總是成群結隊，而且排成“人”字形。這“人”字形的角度永遠是110°左右，如果計算更精確些，“人”字夾角的一半，即每邊與丹頂鶴群前進方向的夾角為54°44′08″。按照這個隊形，使得隊伍中的丹頂鶴最省力。

同樣地，人類從遠古走來，最開始是猿，從猿進化到人。因此，人在生存發(fā)展的過程中，必然要產(chǎn)生基本的數(shù)量需求和位置需求。比如，人生存好要吃肉，吃肉就要捕獵，可捕獵是有風險，當然誰也不愿意受傷。那么，就要思考這一個月需要吃幾頭豬，并且不用冒更大的風險捕獵更多的豬。而這對應著基本的數(shù)量需求。另外，我們要有住的地方，不能直接挨著獅群住，也不能離水源太遠，還要考慮地勢高低，不能一下雨，住的地方就成了水坑。這就對應著基本的位置需求。 這就產(chǎn)生了基本的數(shù)量需求和位置需求。

產(chǎn)生了這些東西之后就希望有一種描述，于是數(shù)學從這個時候開始產(chǎn)生，但是非常的粗淺。比如說，一個原始社會的一個群落或者一個山洞，這個山洞里面我們到底有多少個人、我們打死了幾只猴子、幾只野豬等等這些東西都需要計量。再比如，我們還需要研究位置關系：我們所居住的山洞跟某一個河流構成了怎樣的位置關系，跟某一個岔路口構成怎樣的位置關系，當時這些問題都需要前人來解決。同時，我們還要解決場所的大小問題。比如說，我們這個山洞它究竟有多大，它究竟能夠容納多少人等等，這都是問題。這些問題發(fā)生了，于是人類開始產(chǎn)生最基本的東西。比如說，最開始需要計量，于是產(chǎn)生了1、2、3、4等自然數(shù)。

為什么稱之為自然數(shù)呢？

數(shù)學的定義都是經(jīng)過嚴格推敲的，是要反映它的本質(zhì)，給人以形象的理解。舉個稍復雜點的概念——支集，具體的定義為：一個函數(shù)f定義在集合X上，其中X的一個子集，滿足f恰好在這個子集上非0，那么，這個集合稱為支集。這就好像X軸是地面，函數(shù)像人一樣從地面上支撐起來。

因為它是從大自然中來，自然產(chǎn)生的。有了數(shù)量需求，就想著表示。從最開始，不同的人有不同的發(fā)展，因為他是自然發(fā)生的。我們最開始就產(chǎn)生自然數(shù)，利用這個東西來計量。我們想想人類最開始有數(shù)學需求的時候，那個時候又沒有這些數(shù)字，于是那個時候只能弄一個小繩。比如說，我打死一只狍子，我在這個小繩上系個扣，我打死第二只再系第二個扣……等回來之后酋長問我：你今天戰(zhàn)果如何??？我把那個小繩往外一掏，給你看這么多個扣。問我戰(zhàn)果怎么樣？你看有多少個小疙瘩，那么戰(zhàn)果就有多少。所以那個時候人類生活是很不方便的，只能通過那些小疙瘩來計數(shù)。而后來，發(fā)明了數(shù)，雖然這事對我們今天來講是很簡單一件事，在那個時候來講它極不簡單。

當人們對數(shù)的認識變得越來越明確時，人們覺得有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，于是就產(chǎn)生了計數(shù)。最開始的是采用手指計數(shù)，一只手五根指頭表示5以內(nèi)的事物的集合，兩只手就表示10以內(nèi)的事物的集合。正如亞里士多德所言，我們今天十進制的廣泛采用就源于人生來就有10根手指這樣的解剖學結果。隨著人們對于數(shù)的需求越來越大，10以內(nèi)的數(shù)已經(jīng)不敷運用時，于是我們就出現(xiàn)了石子計數(shù)。但隨之而又出現(xiàn)了一個很大的不便，計數(shù)的石子很難長久保存信息，容易出現(xiàn)丟失。所以隨著發(fā)展又出現(xiàn)結繩計數(shù)和刻痕計數(shù)這兩種計數(shù)方式，這打開了我們計數(shù)發(fā)展的新局面，是一個跨越式的前進。

例如，在美國自然史博物館保存有古代南美印加部落用來記事的繩結：在一根較粗的繩子上栓系涂有顏色的細繩，再在細繩上打著各種各樣的結，不同顏色和結的位置、形狀表示不同的事物和數(shù)目。這種記事方法在秘魯高原一直盛行到19世紀，而日本的琉球島居民還仍然保持著結繩記事的傳統(tǒng)，足見結繩記事對于人類發(fā)展的重要意義。計數(shù)系的出現(xiàn)使數(shù)與數(shù)之間的書寫運算成為可能，在此基礎之上初等算術在幾個古老文明地區(qū)發(fā)展起來了。

數(shù)1、2、3、4……我把它排成順序，只要記其中一個就行，根本不必要重復。比如說，打死了八只狍子，1、2、3、4、5、6、7、8，我只要能說出“8”，大家就能明白什么意思。這就是最開始產(chǎn)生“數(shù)”。

但大家想想，在古代，那個時候還沒有面積的概念，但是人們還要描述事物的大小，你們說怎么辦？我們現(xiàn)在就模仿一下古人。假如說我們現(xiàn)在沒有面積的概念，也沒有尺寸的概念，要描述一下這塊石板有多大怎么告訴我？最開始肯定用手臂比劃一下。但如果在遇到兩個情況就不好辦了：一個情況是，這個石板遠遠比我的兩個手臂寬，怎么辦？長和寬都要超過手臂能比劃的范圍，怎么辦？另一種情況是你在五里以外，發(fā)現(xiàn)這么一塊石板，你又不能見我的面，要通過一個小孩，來轉(zhuǎn)達我，怎么辦？你可以想象很多種情況。在這個時候就遇到困難。不要單說這么大的石頭，還有的情況是：非常小，小的像一個小米粒那么大，然后跟我“恩恩恩”，以手做比劃，我這么比劃了半天，尤其是遠的同學，你也沒看明白什么意思，是吧？我在這里邊，說，有一種黃色的米，你啥也看不到，就是說，太小了你看不出來，超過你雙臂能比劃的范圍你也看不出來。在這個時候，人類就想，我怎么描述它呢？于是有一天，終于想出來，用長和寬的關系來描述面積，用長寬高的關系來描述體積。所以大家想，這個世界，我們今天所描述的東西，都不是憑空而來的。

很多數(shù)學基本概念的定義確定了數(shù)學未來發(fā)展的形式。

面積表示著平方的概念，如果是一塊面積。平方就是二維了，就涉及到以后的坐標系，并直接暗含著直角坐標系。如果，一開始面積表示不是平方，而是現(xiàn)在講的菱形，那么，菱形坐標系該怎么表示？

笛卡爾坐標系

其實呢，最開始借助的都是長乘寬。用長和寬相乘，用方的東西，不管是正方的，還是長方的，用一個方的東西定義了面積。但是以后即使不是方的，我也借助于方的來表達。所以，很多東西不是從來就是這樣的。如果我們善于從哲學角度想問題的話，你將會發(fā)現(xiàn)，在這里不自覺的有這樣一個坐標關系。借助于一個直角坐標關系。那就是說，說明這個角是直角。你這么定義面積。大家再想想，人類還可以換多種方式定義面積。比如說，現(xiàn)在的坐標軸都是這樣的一個角度的坐標軸，不是90°，而是60°，60°的坐標的話，我仍然可以建立坐標，那么我仍然可以用60°的坐標這種關系建立面積的概念。如果人類最開始定義面積，用這種60°角（的坐標）來定義面積，那么你們可以想象，我們今天的數(shù)學就不是今天這個樣子。所以數(shù)學它最后形成的形式，跟你最開始的定義方式是密切相連的。我們到了大學，讓我們做這樣一個不定積分，（sinx/x）的不定積分，覺得這個東西太難了。那么這個不定積分原函數(shù)我們在數(shù)學上怎么回答？原函數(shù)是存在的，但是我們不知道他如何表達，因此我們就說這個不定積分現(xiàn)在沒有。事實上，我們后來真的學了積分之后，我們發(fā)現(xiàn)要描述它非常容易。為什么呢？因為我們只要在一個很小的范圍內(nèi)，我們把sinx進行泰勒展開。發(fā)現(xiàn)它就是這么一個關系，你只要把x跟它每一個除一下，它就變成了。我們發(fā)現(xiàn)把這個原函數(shù)找到，并且算一下計算就比較簡單。我們只要找到了它，對它進行積分，就是一個冪函數(shù)積分，積出來還是個級數(shù)，非常簡單。一個用積分表達，計算起來也并不復雜的東西，為什么我們通常表述就那么難呢？這就說明我們今天的數(shù)學是沿著一特定的思路來定義下來的，來演繹下來的。假如說現(xiàn)在我們定義面積，我們是按60°定義或者按30°來定義而不是按90°來定義的話，這個時候，你重新算sinx/x這個積分的時候，可能一下子積出來，這是個非常簡單的東西。而現(xiàn)在我們非常簡單的東西，那個時候就有可能變得非常復雜的東西。我們有些從事數(shù)學的人，在一些具體問題上能夠取得一定的成就，但是可以說，仍然處在一個“小家”的水平上，不能稱之為大家。問題就在于他們并不能夠用開闊的思想來思考數(shù)學，他們不知道數(shù)學為什么是這個形式，他們不知道數(shù)學未來將會是什么形式，他們不知道數(shù)學未來將怎樣發(fā)生革命。像牛頓、萊布尼茲、龐加萊、克萊因等大數(shù)學家，他們都是有很深的數(shù)學史、數(shù)學哲學功底的。

我們最開始由于數(shù)量的需要，產(chǎn)生了數(shù)字。后來由于要解決位置的問題，產(chǎn)生了歐幾里得平面幾何。雖然中國人在古代并不知道歐幾里得，但是中國人、希臘人和其他國家的人一樣都需要解決這些實際問題。與算術的產(chǎn)生相仿，最初的幾何知識則是源于人們對于形的直覺中萌發(fā)出來的，史前人大概首先是從自然界本身提取幾何形式，在器皿制作、建筑設計及繪畫裝飾中加以呈現(xiàn)。據(jù)研究，不同地區(qū)幾何的產(chǎn)生有不同的歷史背景。古埃及幾何學產(chǎn)生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量，古印度的幾何學的起源則與宗教實踐密切相關，而古代中國幾何學的起源更多的與天文觀測相聯(lián)系，由此，我們也可以發(fā)現(xiàn)幾何學的出現(xiàn)離不開我們生產(chǎn)生活的需要。

一旦這些實際問題得到解決，對于我們現(xiàn)實生產(chǎn)生活是十分有益的。數(shù)字——自然數(shù)產(chǎn)生之后，我們想描述現(xiàn)實的情況變得有可能了。比如說，在我們這樣一個小區(qū)域內(nèi)有多少棵楊樹呢，我們只要查一下，有27棵楊樹。在一個小區(qū)域內(nèi)有27棵楊樹，我只要寫這樣一個數(shù)字就行了。注意，那個時候中國可沒有這樣一個數(shù)字，這是阿拉伯人發(fā)明的，阿伯人用這樣一個方式來描述，我們中國人不用這個方式，中國人用一橫兩橫來描述。阿拉伯人用這個“1、2、3、4、5……”來描述，羅馬人用“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……”來描述，而中國人用什么來描述呢？中國人用 “一、二、三、四、五……”。

不同的民族有不同的描述方式，別看這個描述方式看起來很簡單，這里的問題比較復雜。我們想想為什么數(shù)學在西方比較發(fā)達？比如說像古希臘，羅馬，后來的法國、英國、德國等等，為什么在這些國家，在西方率先發(fā)展起來了？為什么中國古代曾經(jīng)有燦爛輝煌的數(shù)學，為什么近代沒有發(fā)展起來呢？古羅馬發(fā)展也受限制。一個很重要的原因是我們的數(shù)學表達形式太難了，或者用另一種說法叫沒有及時符號化。用一個簡單的例子，比如一千五百二十一加一千五百二十五，寫成“1521+1525”，列豎式運算，非常方便，但是按照我們的文字表達，加起來很困難，其他運算也是如此。

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運算關系的產(chǎn)生歷史

不同的民族都需要數(shù)字，需用數(shù)字來表達，在現(xiàn)實生活中常會涉及數(shù)字之間的數(shù)量關系。比如軍營里面現(xiàn)有一個營的兵力，然后又有人來參軍，又來了一個營零一個連的兵力，那么我們一共有多少兵力？這樣的數(shù)量關系怎么描述呢？再比如現(xiàn)在軍營里面有三個營的兵力，需要分出去兩個營給別人，怎么分？于是現(xiàn)實生活中就產(chǎn)生了加法和減法。涉及要把一些東西合到一起測量總數(shù)的時候就產(chǎn)生了加法，涉及要從一個總的數(shù)字當中分一些東西出去，就產(chǎn)生了減法。在人類最早的文字記載中，加減運算是最早掌握的兩種數(shù)學運算。我國古代比較注重利用工具來做計算，用算籌或者算盤來做加減法，記錄時用的是文字表達。在現(xiàn)實當中因為有需求，才產(chǎn)生了各種各樣的運算。從根本上說，人類一般是不干傻事的，總是產(chǎn)生對人類有用的東西。

算籌

有人問為什么三加二等五，實際上這個問題沒有什么好問為什么的，這些關系就是確定的。如果探討緣由的話，這不是純數(shù)學的推理能解釋的，而是一個哲學、歷史、社會學的問題。就是因為算術的結論是在人類幾百年、幾千年的社會實踐過程中積累、歸納、總結下來的，它們逐漸在人們意識中固定了下來，在符號的語言中固定了下來，以及在實際的應用中固定了下來。比如三個和兩個放在一塊就是五個，兩個和三個放在一塊也是五個（這最終還總結出了加法結合律），任何時候、任何地方都是這樣。當然現(xiàn)實中也有時候不是這樣，比如三升水和兩升酒精加在一起就不是五升，但是，數(shù)學的模型、數(shù)學的抽象舍棄了這些特殊的情況而抓一般的情況。當然，在現(xiàn)實應用中是需要認清前提的，否則會鬧出笑話。

那現(xiàn)實生活中為什么要產(chǎn)生乘法呢？我們可以想一想，如果我們要一些東西加起來，比如3+3+3+3+3；使用加法很容易得到3+3+3+3+3=15，能得到對應的結果。假如有五十個“3”相加呢，那我們需要3+3+3+……，這樣太麻煩了。為了簡化起見，人們用一種新的方式來表達它，也就是“5*3=15”。同理，除法是怎么產(chǎn)生的呢？一個數(shù)按照相等的關系能減出來多少倍，比如十除以三等于三余一，意思就是十按照三個等分這么分的話，只能分出三個等分來，最后剩下一等分。

加減乘除運算關系，都是小學最基本的東西。問題的根本在于是否知道它的來龍去脈，就是它到底是怎么來的，到底是什么意思。

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分數(shù)、小數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)的產(chǎn)生歷史

我們講數(shù)學，講“數(shù)”，數(shù)最先產(chǎn)生的是自然數(shù)，就是“1、2、3、4、5、6、7、8……”，一直往下數(shù)下去就是自然數(shù)。而后又加入了“0”，“0”和那些自然數(shù)，形成了最初的整數(shù)的概念（注：負數(shù)產(chǎn)生后，整數(shù)的概念中又加入了負整數(shù)）。再后來又出現(xiàn)了分數(shù)的概念，甚至還出現(xiàn)了小數(shù)的概念。分數(shù)的概念很簡單，比如說媽媽烙了一個餅，家里有三個孩子，于是把這個餅分成三份，然后分給每個孩子，這時候就需要表述：每個孩子吃了多少呢？哦！一個孩子吃了三分之一。媽媽一想，還得給你們爸爸留一份，拿刀在這個餅上切了個“十字”，分成了四塊。這時一塊餅就變成四份了。而后媽媽再一想，我自己還沒吃呢，就可以把這個餅分成五份。這里就涉及三分之一，四分之一，五分之一。從這里可以發(fā)現(xiàn)，一個整體要分成若干份，我們原來了解的整數(shù)的概念隨著生產(chǎn)生活的發(fā)展逐漸不夠用了，在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數(shù)的結果，于是就產(chǎn)生了分數(shù)的概念。

小數(shù)又是如何產(chǎn)生的呢？一些實用的計量單位多采用十進制計數(shù)法，由此也就產(chǎn)生了十進分數(shù)，也就是小數(shù)。小數(shù)的產(chǎn)生較負數(shù)晚，第一個將這一概念提出的是魏晉時代的劉徽，他在計算圓周率的過程中，用到了尺、寸、分、厘、毫、秒 、忽7個長度計量單位，對于忽以下的更小單位則不再命名，統(tǒng)稱為“微數(shù)”。在早期小數(shù)可視為是分數(shù)的一種變形的表達形式。有的是一種準確的表達，有的則是一種近似的表達。比如，當我們描述三分之一的時候，三分之一是一個準確的概念，而0.333333……不管后面有多少個3，都是不準確的。但不管怎么說，我們現(xiàn)實生活中有了小數(shù)也行。比如說，分了一塊餅的三分之一，這個說法很準確；說分了0.3333塊餅，雖然有點近似，但是也能理解它的意思。因此小數(shù)也有小數(shù)的意義。于是我們的加減乘除運算，也可以把分數(shù)和小數(shù)加進去。

人們在生產(chǎn)生活實踐中，為了表示相反意義的量，如錢糧虧損、材料欠缺、負債等情況，將其用數(shù)學符號來表達，就產(chǎn)生了負數(shù)。在中國公元一世紀的《九章算術》中，就最早提出了正負數(shù)加減法的法則。整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)，加上負數(shù)，就構成了我們今天所說的有理數(shù)。

九章算術

有了有理數(shù)，我們再看無理數(shù)。無理數(shù)的產(chǎn)生也是很早的，但它被人們真正接受卻是比較晚的。早在公元前470年左右的古希臘，畢達哥拉斯學派的學員希帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形對角線長度不能用整數(shù)之比的形式來表達，打破了畢達哥拉斯學派“任何數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比”的信條。這個長度的值其實就是后來說的無理數(shù)，然而希帕索斯本人卻因此被驚恐無比的畢達哥拉斯學派其他成員投入大海。隨后，數(shù)學家們陷入了對這個問題的長期的爭論中，這就是第一次數(shù)學危機。但是真理是掩蓋不了的，畢達哥拉斯學派抹殺真理才是“無理”，人們?yōu)榱思o念希帕索斯，把這樣的量稱作“無理數(shù)”，無理數(shù)最終還是被人們認識到并且影響了隨后整個數(shù)學的發(fā)展。

希帕索斯

在數(shù)的范圍在不斷擴展的同時，計算領域內(nèi)也產(chǎn)生了很多新的運算。在計算體積的過程中產(chǎn)生了乘方的概念，如一個正方形加上一個高變成正方體，相同的量三次相乘，就構成了三次方。產(chǎn)生了乘方，自然，也就要產(chǎn)生與之相反的開方的概念。

隨著我們現(xiàn)實中需要解決的數(shù)量關系越來越復雜，運算關系也變得越來越豐富，數(shù)的表現(xiàn)方式也變得越來越豐富。前面所說的有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，后來又有了虛數(shù)的概念。與整數(shù)、分數(shù)等不同的是，虛數(shù)不是在自然科學或技術方面的推動下產(chǎn)生的，而是產(chǎn)生于數(shù)學本身內(nèi)部產(chǎn)生的抽象的數(shù)學體系，但在后來也產(chǎn)生了極有價值的應用。

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復數(shù)的歷史

虛數(shù)究竟是如何產(chǎn)生的？在中學的教科書中，出于中學知識所限，將其解釋為為了讓方程

有解而引入了虛數(shù)i。但在歷史中，復數(shù)是在一些數(shù)學家求解三次方程的過程中，發(fā)現(xiàn)結果中會出現(xiàn)對負數(shù)的開方，于是這個時候提出了虛數(shù)?？梢哉f，復數(shù)正是在代數(shù)方程的求解中產(chǎn)生的。在古希臘時期，丟番圖的《算數(shù)》中就已經(jīng)記載了一元二次方程在時的情形，但當時丟番圖沒有考慮這種方程是否有解。直到16世紀，三、四次方程的求解中才出現(xiàn)了復數(shù)。意大利學者卡爾丹在塔塔利亞的基礎上推出了一般三次方程的解法。但在求解的過程中，出現(xiàn)了不可約的情形，這時負數(shù)會被開方。然而這是當時的歐洲人無法接受的，因為負數(shù)的出現(xiàn)本身就難以接受了（歐洲人為什么難以接受負數(shù)，這也是一個與社會學文化學相關的有意思的問題），更別說給負數(shù)開方。之后，又有意大利數(shù)學家邦貝利引入了復數(shù)，但他本人覺得復數(shù)是神秘而無用的東西。法國數(shù)學家笛卡爾也將困惑數(shù)學家的“虛無縹緲”的東西命名為“虛數(shù)”。

但是在19世紀初，數(shù)學家給出了復數(shù)的幾何解釋。也就是用一個十字坐標，把一個稱之曰虛軸，一個稱之曰實軸，構成一個平面，實數(shù)和虛數(shù)走到一起構成了一個復數(shù)，寫成a+bi的形式，而這個平面就是復平面（如下圖）。而這個和向量即既有大小又有方向的量就可以對應起來了。在此基礎上，將a、b換成變量x，y，并由此建立了復變函數(shù)。

后來人們又逐漸發(fā)現(xiàn)復數(shù)的理論體系在解決很多現(xiàn)實問題是很好的工具。在流體力學中，比如對于一條河流，中間有一根木頭擋住了一部分水流，那么對于木頭兩側(cè)的水流，雖然距離很近，甚至可以忽略，但是兩邊水流的速率、方向卻相差非常大，必須要繞過木頭才能建立起相應的關系。把這個現(xiàn)象用一個模型來表達（如下圖），

發(fā)現(xiàn)它和復平面上復變函數(shù)的性性質(zhì)非常相似。 也就是，對于復平面上這樣一個區(qū)域，中間被部分隔斷，在被隔斷處兩側(cè)，雖然距離非常小，但是函數(shù)在這兩端的性質(zhì)相差非常大。因此，人們開始越來越相信復數(shù)的產(chǎn)生在數(shù)學中是有著非常重要的意義的。返回搜狐，查看更多

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