摘要 1900~1928年間是物理學(xué)史上最激動人心的時代，一群天才，主要是年輕人，在不到三十年的時間里構(gòu)造了嶄新的量子力學(xué)體系，從而改變了物理學(xué)的面貌，也徹底地改變了人類社會的面貌。本文將系統(tǒng)地解釋什么是量子(quantum)、什么是力學(xué)(mechanics)，在對量子力學(xué)創(chuàng)建過程的回顧中講述構(gòu)成量子力學(xué)的具體內(nèi)容，然后會介紹幾例量子力學(xué)帶來的新技術(shù)。量子力學(xué)從來都不是什么革命，它只是經(jīng)典物理學(xué)自然的、邏輯的延續(xù)。量子力學(xué)一如物理學(xué)的其它分支，都是人類思想智慧的結(jié)晶。量子力學(xué)，還有相對論，這些百多年前的頭腦風(fēng)暴，今天應(yīng)該成為受教育者的知識標配。

關(guān)鍵詞 (能量、作用量、相空間)量子，量子化，黑體輻射，光譜線，玻爾模型，躍遷，量子化條件，矩陣力學(xué)，波動力學(xué)，波函數(shù)，量子數(shù)，自旋，群論，相對論量子力學(xué)，反粒子

1900~1928 年間是物理學(xué)史上最激動人心的時代，一群天才，主要是年輕人，在不到三十年的時間里構(gòu)造了嶄新的量子力學(xué)體系。若將1900 年普朗克得到黑體輻射譜的數(shù)學(xué)表達作為量子力學(xué)誕生的標志，則量子力學(xué)至今已誕生120 年了。量子力學(xué)不僅改變了物理學(xué)的面貌，也徹底地改變了人類社會的面貌。量子力學(xué)是人類思想智慧的結(jié)晶，百多年前它是天才頭腦風(fēng)暴的產(chǎn)物，在今天它應(yīng)該成為受教育者的知識標配。本文將在對量子力學(xué)創(chuàng)建過程的回顧中系統(tǒng)講述構(gòu)成量子力學(xué)的具體內(nèi)容。文章的大致章節(jié)安排如下：

(1) Quantum與mechanics 釋義(2) 量子意味什么?(3) 量子力學(xué)是如何創(chuàng)立的?(4) 量子力學(xué)的輝煌成就(5) 如何學(xué)習(xí)量子力學(xué)?

1 Quantum與mechanics 釋義

Quantum mechanics， 量子力學(xué)， 其中的quantum 來自拉丁語形容詞“多少”的中性形式。拉丁語形容詞“多少”的陽性、中性、陰性形式分別是quantus，quantum，quanta。在拉丁語系的現(xiàn)代語言中，比如意大利語， quantum 的同源詞都明顯是多少的意思，比如Quanto costano(這東西多少錢)？Quanti anni hai (你有幾個歲，即貴庚幾何)? 如今英文的quantity，quantitate，quantitative 都源于quantum， 和數(shù)量有關(guān)，是定量、量化的意思。實際上，在英語中quantum 這個詞的原形也一直被當作“數(shù)量”在用，比如見于quantum of rainfall (降雨量)。在著名的007 系列中，有一集為quantum of solace，被翻譯成了“量子危機”。其實這里的quantum 不可以作“量子”解。Quantum of solace 是舒適度、安全度的意思。過去的江湖人士、而今的特工或者明星到了任何地方，都要本能地迅速評估出環(huán)境的安全度或者舒適度，電影Quantum of solace要反映的就是特工007 的這種本領(lǐng)。在和量子力學(xué)有關(guān)的西語語境中， quantum (quant)被當成名詞單數(shù)，而quanta (quanten)被當成名詞復(fù)數(shù)用，偶爾也有用quantal的。

那么quantum mechanics 中的mechanics 是什么意思呢？Mechanic 是個希臘語詞，與機械、工程有關(guān)， 比如希臘語的工程師是μηχανικ??(mechanikos)， 照相機是φωτογρακ? μηχαν? (photograkee mechanee)。弓箭、拋石機是人類最早的機械，機械手表可說是機械制造的巔峰。Mechanics，mechanism， 正確的理解是機巧、道理、機制， how it goes，類似漢語的“道”。十九世紀人們用機械觀來理解遇到的各種物理現(xiàn)象，故有熱的機械觀(the mechanics of heat)，電的機械觀(the mechanics of electricity)，原子的機械觀(the mechanics of atom)。Mechanics 被漢譯為力學(xué)是錯譯，英語的力學(xué)是theory of force，德語為die Kraftslehre， 但是力的概念在1894 年已經(jīng)被赫茲踢出了物理學(xué)，后來的物理學(xué)基本不再拿力來說事情。Analytical mechanics ( 分析力學(xué))， statistical mechanics (統(tǒng)計力學(xué))，都不是力學(xué)，如果說analytical mechanics 還偶爾有force 這個概念出現(xiàn)的話，在statistical mechanics 就根本沒有力的蹤影。至于把熱功轉(zhuǎn)換的學(xué)問，thermodynamics(dynamis， 功、能力、威力)，給理解為熱—力學(xué)，將之連同electrondynamics (電—動力學(xué)) 一起都歸于所謂的四大“力”學(xué)，其害不淺。Quantum Mechanics， 字面上大約可以理解為關(guān)于小物理量世界的道，日本人把它翻譯成量子力學(xué)。

2 量子意味什么?

當我們將量子，quantum，的概念引入科學(xué)時，我們看中或者說試圖賦予它什么特性呢？一個事物之最小構(gòu)成單元就是quantum，它具有完整性、不可分辨性。沙丁魚群的quantum就是一條一條的沙丁魚。談?wù)摿孔訂栴}要關(guān)注兩個詞， atom和integer， 不要把它們簡單地按照英漢字典理解成“原子”和“整數(shù)”，而是應(yīng)該按照拉丁語字面理解為不可分(a-tom)和不相連(in-teger)。Atom 和integer 就體現(xiàn)了量子的精神，這種精神在日常生活中就有應(yīng)用。試舉一例。春秋時期，齊景公麾下有三個猛士公孫接、田開疆、古冶子，因居功自傲得罪了相國晏嬰(“晏子過而趨，三子者不起”)，結(jié)果“一朝被讒言，二桃殺三士。”為什么二桃能殺三士呢？因為桃在被“計功而食”的語境中就有了不可分的特性(atomicity)， 兩個桃子三個人分，只好爭搶。三個猛士因爭搶引起了羞辱感，結(jié)果全自殺身亡，這完全是著了人家的量子計謀(圖1)。量子(quantum)，不可分性(atomicity)或者分立的特性(discreteness)， 相對應(yīng)的是連續(xù)、彌散的分布。尊重分立性的存在，也是古老的生活智慧。人民解放軍有一位將軍皮定均中將，據(jù)傳他就規(guī)定他的部隊里“吃雞蛋必須以煮雞蛋的形式發(fā)到士兵手里，不許做成雞蛋湯、炒雞蛋?！敝箅u蛋體現(xiàn)的是一個一個雞蛋的分立存在，忽略雞蛋個頭上的差別，則吃到了就是吃到了，一點不含糊。與之相對，炒雞蛋、雞蛋湯語境下的雞蛋是攪合到一起的，雞蛋失去了其量子特征，則就有了很大的可含糊的余地：“二斤雞蛋炒兩個辣椒和二斤辣椒炒兩個雞蛋，都是辣椒炒雞蛋?！?一般教科書中將經(jīng)典物理放到量子物理的對立面上，暗示經(jīng)典物理不關(guān)注discreteness 的問題，恕筆者不敢茍同。

圖1 二桃殺三士，選自《南陽漢畫像石精萃》

量子是存在的最小單元，涉及不可分和分立性，則當我們談?wù)撚缮贁?shù)幾個單元組成的體系時，要抱著一種謹慎的態(tài)度，因為這里要用到不同的處理問題的方式或者哲學(xué)。比如我國2018 年GDP 總量約是93 萬億元，以人民幣的量子來表示，就是9300 萬億分，是一個16 位數(shù)。我們說增長率是6.6%，這個數(shù)值單純從算術(shù)的角度來看是合理的；其實就是說增長率為6.612724568932% 也行。但是，若我們說某單位工資額比去年同比漲了6.61%就可能不是很科學(xué)，因為工資可能就是分幾檔漲的，其中就不含6.61%這一檔。此外，漲工資更多的是關(guān)系到個人的事情，含糊的、近似的平均漲6.61% 的說法數(shù)學(xué)上沒大毛病但也不科學(xué)。一個極端的例子是，若提到誰家的人口增長，比如說老馬家的人口去年增長了6%， 雖然百分比后面都沒有小數(shù)點，它也顯得不是人話。對于家庭這種由少數(shù)幾個量子(人)組成的體系，說清楚馬王家到底幾口人添了幾個孩子才恰當。大家這感覺到了吧，量子的概念及關(guān)聯(lián)的思維不是多么邪乎，它就存在于我們的日常生活中。

找到或者定義了一個物理量的量子，就是量子化。量子力學(xué)里量子化了什么物理量呢？首先被量子化了的是能量，具體地，先被量子化的是分子的動能。到了1913 年前后，為了給氫原子中電子的能量取分立的值找個借口，有了角動量或者作用量(action)的量子化，作用量的量子為普朗克常數(shù)h。1924 年，玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)假設(shè)相空間的體積是量子化的，其量子為h3。能量、作用量、相空間三者的量子化，是量子力學(xué)的三個里程碑。注意，作用量，角動量以及對應(yīng)一個廣義坐標的相空間體積都具有相同的量綱。

3 量子力學(xué)是如何創(chuàng)立的?

量子這個概念，最先走進科學(xué)，見于黎曼1854 年的論文über die Hypothesen， welche der Geometrie zu Grunde liegen (論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的幾個假設(shè))。在這篇論文中，黎曼提出了流形的概念，奠立了微分幾何(廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)啊)，還第一次將量子(Quanta)用于科學(xué)：“流形之通過某些特征或者邊界相區(qū)分的部分稱為Quanta (圖2)。Quanta之量的比較依其性質(zhì)或者是通過計數(shù)得來的分立量，或者是通過測量得來的連續(xù)量?！绷孔踊娪趲缀?，不稀奇。晶體的幾何量子就是它的單胞(unit cell)，截角八面體、平行六面體都可以是三維空間的全同量子。

圖2 黎曼1854 年的論文截圖

物理意義上的第一個量子概念是能量量子，確切說是分子動能的量子化，出現(xiàn)在玻爾茲曼(Ludwig Boltzmann ， 1844 — 1906) 1877 年的論文里。為了得到氣體的麥克斯韋分布，

，玻爾茲曼引入了能量單元(Energieelement)的假設(shè)。一個由n 個粒子組成的體系，每個粒子具有的動能是能量單位ε的0，1，2......p倍，則總能量一定的前提下平衡態(tài)時粒子數(shù)隨能量的分布是什么樣子的？這個問題等價于在約束n0+n1+…+np=n，和[0·n0+1·n1+…p·np]ε=E下求狀態(tài)數(shù)W = n!/(n0!n1!…np!) 的最大值。利用拉格朗日乘子法，可得結(jié)果為np∝ e-pε/kT ，此正是上述的麥克斯韋分布[1]。但是，玻爾茲曼在得到這個分布函數(shù)后，在隨后的求平均動能、最可幾速率等操作中，又把能量當成了連續(xù)的物理量加以處理，這樣他就相當于把自己引入的革命性的概念隨手給掐死了。能量是連續(xù)的，在十九世紀末期是一個物理學(xué)家頭腦中根深蒂固的觀念。當然了，玻爾茲曼隨手掐死了他自己引入的革命性概念，也是因為他這樣做時沒遇到任何數(shù)學(xué)或物理上的困難。

到了1900 年，為了擬合黑體輻射的實驗結(jié)果(圖3)，即找出空腔中光的能量體積密度隨頻率的分布，柏林大學(xué)的熱力學(xué)老師普朗克(Max Planck， 1858—1947)大膽地從熱力學(xué)著手來解決這個問題。普朗克主要是在維恩工作的基礎(chǔ)上往前摸索的。他從熵概念出發(fā)，假設(shè)

，也即

，解得平均能量Uν為

，則能量體積密度為

， 該函數(shù)可以給出圖3 中的曲線，同實驗結(jié)果符合得非常好[2]。幾天以后，F(xiàn)erdinand Kurlbaum (1857—1927)計算得到其中的常數(shù)h=6.55×10-34 Js。

圖3 黑體輻射示意圖及實驗得到的譜分布

這個瞎湊的公式的巨大成功帶來了極大的困惑。于是，普朗克另辟蹊徑，另行從統(tǒng)計物理的角度著手。普朗克假設(shè)P=Uν/hν是個整數(shù)(原文中提到，不是整數(shù)就取近似整數(shù)。普朗克一點也不激進)，這P 個能量單元來自N個頻率為ν的諧振子， 則平衡態(tài)對應(yīng)W = (P-N-1)!P!/(N-1)! 取最大值。利用普朗克首先寫成如下形式的玻爾茲曼熵公式S=klogW， 得

，進一步地可得

，同熱力學(xué)途徑得到的結(jié)果一模一樣。這樣普朗克就從兩種不同路徑得到了黑體輻射公式，這個公式從此就叫普朗克規(guī)律(Plancks Gesetz)， 他現(xiàn)在必須認真對待他的假設(shè)了[3， 4]。P=Uν/hν是整數(shù)，這意味著hν是光的能量單元？光的能量真有單元，還和頻率成正比，啥意思?。科绽士擞X得很難接受。附帶說一句，黑體輻射公式還有愛因斯坦、玻色、泡利、德拜等人的不同推導(dǎo)，筆者將另文專門介紹[5]。

1905 年，愛因斯坦(Albert Einstein， 1879—1955) 利用輻射具有基本能量單元hν 的假說，成功地解釋了光電效應(yīng)的實驗結(jié)果[6]。愛因斯坦進一步假設(shè)固體吸收光也是按照吸收整個能量單位方式進行的， 這樣， 出射的光電子動能為Ekin = hν - ? ，就能很好地解釋光電效應(yīng)的測量結(jié)果(圖4)。至此，光有能量單位一事塵埃落定。后來，愛因斯坦還提出光的能量單元還有動量單元hν/c。

圖4 幾種不同金屬作為電極的光電效應(yīng)實驗結(jié)果

量子力學(xué)的另一個源起是光譜學(xué)的研究。氫氣的液化溫度為20.28 K，這使得氫是倒數(shù)第二個被液化的氣體。有了液化氫就有了純凈的氫氣。氫氣放電的光譜那時可見四條線，波長分別為6562.10，4860.74，4340.10 和4101.2?。這四個波長包含什么秘密呢？1885 年，瑞士一中學(xué)數(shù)學(xué)老師巴爾莫(Johann Balmer， 1825—1898)發(fā)現(xiàn)這四個數(shù)是3645.6的9/5， 16/12， 25/21和36/32倍。寫成公式就是正比于λ ∝ n2/(n2 - 22)，n=3，4，5，6。那么，n=7 呢？將n=7 代進去，果然在計算所得波長處發(fā)現(xiàn)有第五條譜線。這說明氫的光譜線還真是有規(guī)律的，可是從這個表達式能看出什么名堂呢？里茲(Walther Ritz， 1878—1909) 建議把公式λ ∝ n2/(n2– 22) 倒過來，寫成1/λ∝ 1/22 – 1/n2的形式。這引導(dǎo)人們猜測也許公式1/λ∝ 1/n2 – 1/m2 ，n=1， 2， 3，4......，m>n，對應(yīng)的波長處都有譜線，實驗發(fā)現(xiàn)果然如此。那么如何解釋這個公式1/λ∝ 1/n2 – 1/m2 給出的氫原子譜線的規(guī)律呢？

圖5 氫光譜照片

1913 年，玻爾(Niels Bohr， 1885—1962)提出了氫原子的行星模型，他認為氫原子中電子以平方反比力被質(zhì)子所束縛，電子如同行星一樣有固定的運行軌道。光是電子從高能量軌道向低能量軌道跳躍(jump，Sprung)后發(fā)出的，躍遷解釋了公式1/λ∝ 1/n2 – 1/m2 里的減號?？墒?，行星體系的能量是連續(xù)的， 為什么在氫原子體系里變成了En=ε0-C/n2 的形式。玻爾假設(shè)電子的軌道角動量是量子化的， ∮pdx = nh ，在這個前提下去解平方反比力下的兩體問題， 得

， 于是氫原子光譜線的頻率或者譜線位置問題得到完美解決[7]。

圖6 氫光譜的全譜示意圖

然而，關(guān)于光譜線，除了位置以外，譜線的特征還包括亮度、寬度、精細結(jié)構(gòu)、簡并度等諸多因素。12 年后的1925 年，在哥廷恩給玻恩(Max Born， 1882-1970 )當助手的海森堡(Werner Heisenberg， 1901-1976)試圖回答譜線的強度問題，遂引出了矩陣力學(xué)。注意，放光過程，躍遷，和兩個軌道有關(guān)系，那譜線強度也應(yīng)該和兩個軌道有關(guān)系吧？如果把一組軌道的能量先橫排，然后豎著排，考察它們之間的能量躍遷，這自然引入一個矩陣的形象。海森堡試著從軌道的傅里葉展開中引入譜線的頻率，將之表示為兩項之差的方式。如果認定譜線是來自振蕩的話， 其強度應(yīng)該是和振幅的平方成正比。海森堡將他的這一套思想試著在諧振子上尋找思路，得到了x(0)和p(0) 的表達式

然后呢，然后海森堡也不知道怎么好了，就把結(jié)果寫了下來， 放到玻恩教授的辦公桌上，自己度假去了。玻恩教授認出海森堡寫成的東西是數(shù)學(xué)里的矩陣。玻恩計算矩陣形式的xp，發(fā)現(xiàn)xp - px = i?I ，這是有別于玻爾量子化條件的量子化條件。注意，愛因斯坦認為處理輻射強度問題應(yīng)該用經(jīng)典的躍遷幾率的概念替代振幅的概念。也許不算巧合的是， 從A經(jīng)許多不同的B 到達C 的過程，經(jīng)典概率的算法就是矩陣的乘法！玻恩將海森堡的這些內(nèi)容整理后以海森堡的名義發(fā)表。玻恩的助手約當(Pascual Jordan， 1902—1980) 發(fā)現(xiàn)如接受xp - px = i?I ，則這意味著p ? -i??x ，即動量是關(guān)于坐標的微分算符。這個p ? -i??x 是量子力學(xué)關(guān)鍵的一步。后來， 玻恩和約當一起發(fā)了一篇文章， 玻恩和約當、海森堡又一起發(fā)了一篇文章，這就是關(guān)于量子力學(xué)的一種形式，矩陣力學(xué)，的三部曲[8—10]。同時期，英國的狄拉克(P. A. M. Dirac， 1902—1984)獨立地發(fā)展了躍遷概率理論[11]。

在另外的方向上，康普頓(Arthur Compton，1892—1962) 1923 年研究X-射線的電子散射， 發(fā)現(xiàn)散射后散射角越大，X-射線變得越長?？灯疹D接受光的量子有能量ε=hν和動量p=hν/c=h/λ的說法， 利用經(jīng)典的彈球碰撞模型， 求得散射后X 射線波長同散射角之間的關(guān)系， 即康普頓散射公式

。這算是確認了光有能量單元和動量單元，是光有粒子性的一個強有力證據(jù)。

圖7 γ光子轟擊原子核產(chǎn)生電子—正電子對過程的氣泡室內(nèi)粒子徑跡照片

1923 年，德布羅意(Louis de Broglie， 1892—1987)提出了物質(zhì)波的概念，電子這樣的粒子也是波，粒子的波長為λ=h/p，頻率ν=E/h[12]。德布羅意的博士論文傳到德國，愛因斯坦表示說“很有意思”，德拜(Peter Debye， 1884—1966) 嘟囔了一句“總該有個波動方程吧？” 而薛定諤(Erwin Schr?dinger， 1887—1961)， 他早就對經(jīng)典力學(xué)—經(jīng)典光學(xué)之間的類比有深刻研究(證據(jù)見于薛定諤的多本筆記)，很快就領(lǐng)會了德布羅意論文的內(nèi)容。薛定諤于1925 年圣誕節(jié)上了一個滑雪場，在那里待了一周，得到了著名的薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ 。他將這個方程應(yīng)用到了氫原子上，得到方程形式為

復(fù)雜得嚇人，其解

樣子也很嚇人， 而得到的量子化的能量為En?m∝ -1/n2 ，與玻爾的結(jié)果看起來完全相同。但是，這個能量表達式與玻爾的結(jié)果相比有質(zhì)的飛躍，這里的能量是三個變量或曰量子數(shù)，( n,?,m )的函數(shù)。這樣，量子力學(xué)就有了第二種形式，波動力學(xué)。薛定諤的文章題目為量子化是本征值問題(Quantisierung als Eigenwertproblem)， 題目大有深意。文章分為四部分，發(fā)表于1926年[13]。

到了1926 年，光的粒子性算是確立了， 于是化學(xué)家路易(Gilbert N. Lewis)造了photon(光子)一詞。1927 年，戴維森(Clinton Davisson，1881—1958) 和革末(Lester Halbert Germer，1896—1971)用電子束轟擊Ni 晶體。玻恩認識到那花樣是晶體對波的散射的結(jié)果。至此，電子具有波動性質(zhì)得到確認。

那么，薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ 的主角，波函數(shù)ψ ，的物理意義是什么？按照薛定諤的說法，eψ* ψ 是電子的電荷在空間中的分布，而玻恩指出電子是粒子， ψ* ψdτ 是電子在空間體積元dτ出現(xiàn)的幾率，這就是波函數(shù)的幾率詮釋。這個詮釋同波函數(shù)作為矢量的性質(zhì)是相關(guān)的， 這也是波函數(shù)也稱為波矢的原因。對波函數(shù)有許多不負責(zé)任的詮釋。

1924 年，泡利(Wolfgang Pauli， 1900—1958)根據(jù)許多實驗， 包括銀原子束在不均勻磁場中的偏轉(zhuǎn)， 推斷電子還存在一個二值的自由度， 并提出了“ 不相容原理”， 指向了電子自旋這一內(nèi)稟自由度。泡利矩陣是描寫自旋角動量的數(shù)學(xué)工具。1927 年，泡利針對薛定諤方程給出了H = 1/2m[σ ?(p-qA)]2 + q? 形式的哈密頓量，包含電子同電磁場的相互作用，將這個哈密頓量用之于薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ ，則必須要求波函數(shù)是二分量的，

。這個意義下的薛定諤方程也稱為泡利方程[14]。泡利還于1930 年預(yù)言了中微子的存在。加入了自旋，原子中電子的狀態(tài)可以用四個量子數(shù)， (n,?,m; ms) ，來表征。

在這段時期，英國的狄拉克在量子力學(xué)創(chuàng)立方面不斷取得進展。他發(fā)展了躍遷概率理論，從經(jīng)典泊松括號得到了對應(yīng)量子化條件的一般意義下的兩個算符之間的對易式， uv - vu = i?[u,v] 。他還想得到了相對論版的量子力學(xué)[12]。從相對論質(zhì)能關(guān)系E2= p2c2 + m2c4 出發(fā)得到的克萊因—戈登方程

，后來發(fā)現(xiàn)只能描述自旋為0 的粒子，不適用于電子。于是，狄拉克嘗試把二次型E2 = p2c2 + m2c4 降解到線性的層次，即嘗試做因式分解x2 + y2 =(αx + βy)2 。狄拉克發(fā)現(xiàn)若α2= β2 = 1 ， αβ + βα = 0 ，則完成所需的因式分解。對于二次型E2 = p2c2 + m2c4 ，這樣的分解要求α，β至少是4×4 的反對稱矩陣。狄拉克構(gòu)造了這樣的矩陣， 寫出了相對論量子力學(xué)方程i?γμ?μψ - mcψ = 0 ，這里的波函數(shù)ψ 是四分量的，

。狄拉克為了解釋他的量子力學(xué)方程的解，不得已于1931 年提出了反電子的概念，反電子隨于1932年被發(fā)現(xiàn)。

關(guān)于量子力學(xué)的創(chuàng)立，維格納(Eugene Wigner，1902—1995) 這個人也是要提的，他和外爾(Hermann Weyl， 1885—1955) 一起將群論引入了量子力學(xué)，有了群論的量子力學(xué)才能理解光譜的各種特征，包括譜線在電場下和磁場下的分裂(Stark效應(yīng)，Zeeman 效應(yīng))。1922~1925 年間， 維格納在其博士論文中首次提到分子的激發(fā)態(tài)有能量展寬Δε， 它同平均壽命Δt 通過關(guān)系式Δε·Δt~h相聯(lián)系，而海森堡提出Δx·Δp~h 的不確定性關(guān)系是在1927 年。當然了，筆者再次強調(diào)，不存在什么不確定性原理所宣稱的那些問題，比如什么粒子位置測量得越準確、動量就越不準確的渾話。如果大家拿一維方勢阱和諧振子的精確解計算一下的話，容易發(fā)現(xiàn)位置和動量的不確定性是正相關(guān)的！

外爾首先是個數(shù)學(xué)家，業(yè)余時間對量子力學(xué)和相對論都做出了奠基性的工作，還創(chuàng)立了規(guī)范場論。據(jù)信是外爾幫助薛定諤求解了氫原子的薛定諤方程的。外爾這樣的數(shù)學(xué)家做的物理才更像物理。

1924 年，印度人玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)在假設(shè)相空間具有體積單元h3 的前提下也得出了黑體輻射公式。愛因斯坦接著玻色的工作發(fā)展起了玻色—愛因斯坦統(tǒng)計。自旋為整數(shù)的粒子都滿足玻色—愛因斯坦統(tǒng)計，被稱為玻色子。玻色1924 年的兩篇德語論文[15,16]都是愛因斯坦翻譯的，這是科學(xué)史上難得的一段佳話。玻色的量子化讓量子化又回到了幾何。

1926 年， 馮·諾依曼(John von Neumann，1903—1957)指出，算符的本征態(tài)張成一個矢量空間并名之為希爾伯特空間，量子態(tài)可以看成希爾伯特空間中的一個矢量；1932 年， 馮·諾依曼撰寫了《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書。在這本書里，馮·諾依曼建議把測量理解為坍縮過程，一個處于疊加態(tài)的體系，當對它進行測量時，會坍縮到待測量體系的一個本征態(tài)，測量結(jié)果為對應(yīng)的本征值。這個測量原理是大有問題的，首先這個說法沒有根據(jù)。其次，所謂的測量是個相互作用過程，比這個簡單的坍縮要表達的意思復(fù)雜的多。退一步說，即便測量真的是坍縮到待測物理量的本征態(tài)上，許多物理問題就沒有，比如關(guān)于位置的，完備集表示，自然也就沒有作為算符本征值的位置測量。

關(guān)于量子力學(xué)還有個關(guān)鍵的人物，索末菲(Arnold Sommerfeld， 1868—1951)。索末菲和玻恩一樣，是導(dǎo)師的大老師級的人物，泡利、海森堡、德拜(Peter Debye)、貝特(Hans Bethe)、鮑林(Linus Pauling)這些諾獎得主皆出自其門下。索末菲認為玻爾模型把電子限制在一個平面內(nèi)，簡化得太狠了些，電子是在整個三維空間內(nèi)繞原子核運動的。三維空間內(nèi)繞一點的運動可由距離r 和兩個角坐標，傾角θ和方位角? ，來描述。傾角θ和方位角? 分別引入了第二和第三量子數(shù)。1916 年索末菲引入三維的量子化模型，

，量子化的條件為∮pdx = kh ，解出的能量形式為E ∝ -1/(? + k)2 。也就是說，玻爾模型里的那個n， 是這里的k。索末菲的工作是舊量子力學(xué)的關(guān)鍵。

至此，我們有了波函數(shù)一分量的薛定諤方程、波函數(shù)二分量的泡利方程和波函數(shù)四分量的狄拉克方程， 以及克萊因—戈登方程，有了能量量子化(hν)，作用量量子化(h)， 和相空間量子化(h3)，量子力學(xué)的大框架就算有了。相空間量子化讓統(tǒng)計意義的量子力學(xué)走向了量子統(tǒng)計。還有一個值得注意的問題是量子力學(xué)把物理量當作算符，而兩算符之間的對易關(guān)系決定了其在量子力學(xué)中的角色。筆者斗膽提出，量子力學(xué)中算符的對易關(guān)系可分為三重。第一重，兩算符對易， [A,B] = 0 ，這樣的一對算符有共同的本征態(tài)。量子力學(xué)一個任務(wù)是找一組相互對易算符的共同本征態(tài)作為解的完備集。第二重，對易，但對易子為常數(shù)，比如量子化條件， [x,p] = i? 。不對易的算符沒有共同本征態(tài)，但這個關(guān)系不足以確定本征態(tài)。類似x， p 這樣的沒有共同本征態(tài)的一對算符讓海森堡于1927年一通發(fā)揮，遂有了所謂的不確定性原理，然后又有更不負責(zé)任的人給發(fā)揮得神乎其神。其實，關(guān)系[x,p] = i? 與傅里葉分析有關(guān)，其帶來的算符之均方差的關(guān)系， Robertson 于1929—1930 年有嚴格的數(shù)學(xué)研究， 不可以亂加詮釋的。第三重是類似[J,J] = i?J ，這個和李代數(shù)有關(guān)。這個對易關(guān)系是一個更強的約束，實際上它已經(jīng)能確定下來自己的表示了，與經(jīng)典或者量子無關(guān)。有興趣的讀者請仔細思考一下角動量的表示問題。

至此，如果要問什么是量子力學(xué)，我們可以說量子力學(xué)就是由量子力學(xué)方程及伴隨的概念、觀念所構(gòu)成的一個物理理論體系。量子力學(xué)是一個集體智慧的結(jié)晶，是人類發(fā)展史上罕見的頭腦風(fēng)暴爆發(fā)。因為對發(fā)展量子力學(xué)的貢獻而獲得諾貝爾物理學(xué)獎?wù)甙ㄆ绽士?1918)，愛因斯坦(1922 年獲得1921 年度的)，玻爾(1922)，康普頓(1927)，德布羅意(1929)，海森堡(1932)，薛定諤與狄拉克(1933)， 泡利(1945)， 玻恩(1954)， 等等。其中，愛因斯坦獲得的是1921 年空缺的，玻恩則遲至1954 年才終于獲獎，而偏偏這兩位才是奠立量子力學(xué)的關(guān)鍵人物。人世間的事兒啊，想來令人唏噓。

回顧一下量子力學(xué)的創(chuàng)立過程，發(fā)現(xiàn)它就是一個猜的過程。構(gòu)造量子力學(xué)，或者說構(gòu)造近代物理，這是一門藝術(shù)。用玻恩的話說，是猜出正確公式的藝術(shù)(The art of guessing correct formulae)。當然應(yīng)該看到，猜的人對經(jīng)典力學(xué)有深刻的理解。在1930 年以前構(gòu)造量子力學(xué)過程中用到的所有物理，都是經(jīng)典物理。有人會問，量子力學(xué)客觀嗎，量子力學(xué)正確嗎？關(guān)于客觀性，我覺得這是個偽問題。人類的物理學(xué)，取決于人這種存在自身的物理及其與環(huán)境間的相互作用，必然打上人的烙印，而且是特定時代的人的烙印。古希臘智者色諾芬說，“如果牛有上帝，牛的上帝一定長有犄角?！?可以想象，螃蟹設(shè)計的汽車，注定是橫行的。怎么可以要求我們?nèi)祟悇?chuàng)造的量子力學(xué)是客觀的呢？它一定或多或少地帶上人類的烙印。

4 量子力學(xué)的輝煌成就

量子力學(xué)正確不正確？這個問題不好回答，但是我們轉(zhuǎn)而問量子力學(xué)給我們帶來了什么新的關(guān)于自然的認知。試舉幾例。其一，將薛定諤方程用于晶體，周期勢場下薛定諤方程的解告訴我們什么是導(dǎo)體，什么是絕緣體。于是有了半導(dǎo)體的概念。半導(dǎo)體可以有n-型和p-型兩種載流子， 電導(dǎo)率可以在十幾個數(shù)量級范圍內(nèi)變化， 可以制成不同的結(jié)， 由此才有了電子學(xué)和我們的信息化社會！其二， 量子力學(xué)導(dǎo)出的氫原子能量是四個量子數(shù)(n?m; ms) 的函數(shù)。ms 只取(1/2, -1/2)兩個值，而對于給定的自然數(shù)n,? = 0,1,…n - 1 ， m = -?, -? + 1,…? - 1,? 。這樣，對于給定的n， 四個量子數(shù)(n?m; ms) 的組合共有2n2 種可能。2n2 = 2,8,18,32…, 看到2,8,18,32( = 18+14) 人們會想起元素周期表。量子力學(xué)解釋了元素周期表就該長成那個樣子。其三，普朗克分布律是量子力學(xué)的緣起，1917 年，愛因斯坦利用輻射~物質(zhì)相互作用處于熱平衡的模型重新得到了普朗克分布[17]， 在這個工作中提出了受激輻射的概念。受激輻射是激光的概念基礎(chǔ)。1960年，人類制造出了激光器。激光器在今天可說是無處不在。

5 如何學(xué)習(xí)量子力學(xué)?

量子力學(xué)是約一百年前一伙兒天才們的頭腦風(fēng)暴的產(chǎn)出，它和相對論幾乎同步發(fā)展起來。量子力學(xué)和相對論是現(xiàn)代物理的兩大支柱，實際上它們都首先是關(guān)于光與電子的學(xué)問。量子力學(xué)和相對論，從前是天才們的創(chuàng)造物，如今應(yīng)該是受教育者的知識標配，至少該是中學(xué)生的知識標配。那么，如何學(xué)習(xí)量子力學(xué)呢？筆者個人的建議是， 如果你關(guān)注創(chuàng)造史，從量子力學(xué)構(gòu)造的歷史著手學(xué)習(xí)， 可以讀讀Mehra 的The historical development of quantum theory；如果你關(guān)注量子的哲學(xué)，可以讀讀Jammer 的The philosophy of quantum mechanics；如果你打算研究一下量子力學(xué)創(chuàng)立者的工作手冊， 可以讀讀Dirac 的The principles of quantum mechanics；如果你關(guān)注量子力學(xué)的數(shù)學(xué)，可以讀讀Von Neumann 的Mathematical foundations of quantum mechanics；如果你關(guān)注量子力學(xué)新論， 可以讀讀Weinberg 的Lectures on quantum mechanics；如果你只關(guān)注習(xí)題集，可以讀讀Flügge 的Practical quantum mechanics；如果你只想讀一本最淺顯的入門書， 不妨讀讀筆者的《量子力學(xué)—少年版》[18]。但是，不管怎樣，如果你真想了解一點量子力學(xué)的話，請讀由物理學(xué)家撰寫的關(guān)于量子力學(xué)的嚴肅讀物。子不語怪力亂神，切記！

坊間有云：量子力學(xué)要量力而學(xué)，這是說量子力學(xué)很難學(xué)。筆者想說的是，首先量子力學(xué)不難學(xué)；其次，再難學(xué)也要學(xué)不是。我必須再次強調(diào)，量子力學(xué)是一門嚴肅的學(xué)問，是經(jīng)典物理的自然延續(xù)。人們學(xué)習(xí)量子力學(xué)的困難主要在于沒有認真學(xué)過經(jīng)典物理。在學(xué)習(xí)量子力學(xué)之前，如下的預(yù)備知識應(yīng)該是學(xué)過或者至少聽說過的，這包括但不限于普通力學(xué)，分析力學(xué)，經(jīng)典光學(xué)，電磁學(xué)，流體力學(xué)，熱力學(xué)，原子物理，場論，相對論……微積分，變分法，常微分方程，數(shù)理方程，復(fù)分析，概率論，傅里葉分析，線性代數(shù)，群論，不變量理論，等等。一句話，量子力學(xué)“說難學(xué)，也好學(xué)。人家咋著咱咋著！”跟隨嚴肅的學(xué)者，使用嚴肅的教科書，沒人會被量子力學(xué)拒之門外。

參考文獻

注：本文涉及的所有法文和德文的量子力學(xué)基礎(chǔ)論文，網(wǎng)上都有英文譯本，有興趣的讀者不妨對照閱讀，從中參悟讀大家原文的好處。

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[18] 曹則賢. 量子力學(xué)—少年版. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2016

本文選自《物理》2020年第2期