過復(fù)平面原點(diǎn)做一球面與復(fù)平面相切，切點(diǎn)為該球面的南極點(diǎn)，北極點(diǎn)標(biāo)記為 NN （過原點(diǎn)的直徑交球面于 NN ）。對任意在復(fù)平面的一點(diǎn) zz ，連該點(diǎn)與北極點(diǎn)交球面于 ζζ 。

顯然 zz 點(diǎn)與 ζζ 點(diǎn)一一對應(yīng)。 ζζ 點(diǎn)即為復(fù)數(shù)的球面表示—— Riemann 球面。

復(fù)平面上模為無窮大的點(diǎn)是一個點(diǎn)，對應(yīng)于復(fù)數(shù)球面的北極點(diǎn)。

以復(fù)平面原點(diǎn) OO 為原點(diǎn)，給 Riemann 球面建立 Descartes 坐標(biāo)系，球面方程為x′2+y′2+z′2=1x^2+y^2+z^2=1 .

北極點(diǎn)即為 (0,0,1)(0,0,1) .

不難推出復(fù)平面上的點(diǎn) z=(x,y)z=(x,y) 與 復(fù)球面上的點(diǎn) Z=(x′,y′,z′)Z=(x,y,z) 之間的關(guān)系：

x′=2xx2+y2+1,y′=2yx2+y2+1,z′=x2+y2?1x2+y2+1x=\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},\ y=\dfrac{2y}{x^2+y^2+1},\ z=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}

【變形一下，還可以得出 x′=z+z?|z|2+1,y′=z?z?|z|2+1,z′=|z|2?1|z|2+1x=\dfrac{z+z^*}{|z|^2+1},\ y=\dfrac{z-z^*}{|z|^2+1},\ z=\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1} 】

【反過來推導(dǎo)： z=x′+iy′1?z′z=\dfrac{x+iy}{1-z} 】

引入復(fù)球面可以幫助形象地理解 擴(kuò)充復(fù)平面 Cˉ=C∪{∞}\overline{\mathbb C}=\mathbb C\cup\left\{\infty\right\} 。因為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在復(fù)積分中常常被看做一個點(diǎn)，在復(fù)球面中也以北極點(diǎn)一個點(diǎn)來表示。

關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) ∞∞ 還可以繼續(xù)作出一些運(yùn)算的規(guī)定：

1. 當(dāng) α≠∞α\ne \infty 時，α±∞=∞±α=∞α\pm\infty =\infty \pm α=\infty ， α∞=0,∞α=∞\dfrac{α}{\infty}=0,\quad \dfrac{\infty}{α}=\infty .

2. 當(dāng) α≠0α\ne 0 時， α?∞=∞?α=∞α\cdot\infty =\infty\cdot α=\infty .

3. ∞?1=0\infty^{-1}=0 .

4. 運(yùn)算 ∞±∞,0?∞,∞∞\infty\pm\infty,~0\cdot\infty,~\dfrac{\infty}{\infty} 無意義。

5. ∞\infty 的實部、虛部、輻角無意義，模長極大。

在擴(kuò)充復(fù)平面上， ∞\infty 為內(nèi)點(diǎn)；無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域 N(∞)N(\infty) 可以看做以原點(diǎn)為心的某圓周的外部。從而，一個圓周的外部就是一個單連通區(qū)域， ∞\infty 是這個區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)。

對于一個無界序列，如果在有限遠(yuǎn)處無聚點(diǎn)，那么 ∞\infty 就是它的唯一聚點(diǎn)。

包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的擴(kuò)充復(fù)平面將在之后的復(fù)變積分中廣泛用到。