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在本文關(guān)于如何在R中進(jìn)行貝葉斯分析。我們介紹貝葉斯分析，這個(gè)例子是關(guān)于職業(yè)足球比賽的進(jìn)球數(shù)。

模型

首先，我們認(rèn)為職業(yè)足球比賽的進(jìn)球數(shù)來(lái)自分布

，其中θ是平均進(jìn)球數(shù)?，F(xiàn)在假設(shè)我們用一位足球?qū)＜业囊庖?jiàn)來(lái)得出足球比賽的平均進(jìn)球數(shù)，即參數(shù)θ，我們得到：

。

我們想知道什么？

在這種情況下，我們想知道θ的后驗(yàn)分布是什么樣子的，這個(gè)分布的平均值是什么。為了做到這一點(diǎn)，我們將在三種情況下分析：

我們有1個(gè)觀(guān)察值x=1，來(lái)自分布為

的總體。

我們有3個(gè)觀(guān)測(cè)值x=c(1,3,5)，來(lái)自一個(gè)具有

分布的總體。

我們有10個(gè)觀(guān)測(cè)值x=c(5,4,3,4,3,2,7,2,4,5)，來(lái)自一個(gè)具有

分布的總體。

理論方法

在這里，我想告訴你貝葉斯分析是如何分析的。首先，我們有一個(gè)來(lái)自具有未知參數(shù)θ的泊松分布的人口的似然函數(shù)。

我們知道參數(shù)θ的先驗(yàn)分布p(θ)是由以下公式給出的。

最后，θ的后驗(yàn)分布為。

其中常數(shù)C的計(jì)算方法如下。

而后驗(yàn)分布E(θ|x)的平均值由以下公式給出。

計(jì)算方法

在這里，你將學(xué)習(xí)如何在R中使用蒙特卡洛模擬來(lái)回答上面提出的問(wèn)題。對(duì)于這三種情況，你將遵循以下步驟。

1. 定義數(shù)據(jù)

首先，你需要根據(jù)方案定義數(shù)據(jù)。

2. 計(jì)算常數(shù)C

現(xiàn)在使用蒙特卡洛模擬來(lái)計(jì)算積分。為此，有必要從先驗(yàn)分布中產(chǎn)生N=10000個(gè)值θi，并在似然函數(shù)

中評(píng)估它們。最后，為了得到C，這些值被平均化。R中的代碼如下。

N <- 100000 # 模擬值的數(shù)量

rnorm(n=N, mean = 2.5, sd = 0.2) #先驗(yàn)分布

prod(dpois(x=x, lambda = theta)) #似然函數(shù)

3. 尋找后驗(yàn)分布

計(jì)算完C后，你可以得到后驗(yàn)分布，如下所示。

fvero(theta) * dnorm(x=theta) / C

4. 計(jì)算后驗(yàn)分布的平均數(shù)

最后你可以使用蒙特卡洛模擬計(jì)算積分來(lái)獲得后驗(yàn)分布的平均值。

integral <- mean(aux)

posterior <- integral/C

結(jié)果

如前所述，上面介紹的代碼用于所有三種情況，唯一根據(jù)情況變化的是x。在這一節(jié)中，我們將為每種情況展示一張圖，其中包含θ的先驗(yàn)和后驗(yàn)分布、后驗(yàn)分布的平均值（藍(lán)色虛線(xiàn)）和觀(guān)測(cè)值（粉紅色的點(diǎn)）。

第一種情況

curve(dnorm(x, 2.5, 0.2), col=4,,x=x, y=rep(0, length(x)),

line,v = mposterior,legend=c("topright", legend=c("后驗(yàn)", "先驗(yàn)"),)

第二種情況

第三種情況

結(jié)論

從結(jié)果中我們可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)我們有很少的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，如圖1和圖2，由于缺乏樣本證據(jù)，后驗(yàn)分布將傾向于類(lèi)似于先驗(yàn)分布。相反，當(dāng)我們有大量的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，如圖3，后驗(yàn)分布將偏離先驗(yàn)分布，因?yàn)閿?shù)據(jù)將有更大的影響。

我希望你喜歡這篇文章并了解貝葉斯統(tǒng)計(jì)。我鼓勵(lì)你用其他分布運(yùn)行這個(gè)程序。

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