引言

熟悉林丹和李宗偉的都知道，羽毛球是一項(xiàng)激（基）情四射的體育運(yùn)動。2020 年 7 月 4 日，世界羽壇名將林丹正式宣布退役。

圖 1: 基情四射的羽毛球，看得我蛋疼菊緊

林丹是羽毛球史上第一位集奧運(yùn)會、世錦賽、世界杯、蘇迪曼杯、湯姆斯杯、亞運(yùn)會、亞錦賽、全英賽、全運(yùn)會及多座世界羽聯(lián)超級系列賽冠軍于一身的雙圈全滿貫選手，被譽(yù)為中國羽球一哥，是世界羽毛球最知名的明星球員。盡管如此，林丹可能仍然看不懂本文。

圖 2: 看不懂本指南的林丹：媽呀，不懂，艸

要是說“林丹是地球上最會打羽毛球的男人”，應(yīng)該沒有人反對擅長物理的韓同學(xué)可能會第一個不服！

圖 3: 擅長裝逼的學(xué)霸：打羽毛球基本靠心算

已經(jīng)被保入清華物理系的韓同學(xué)表示：羽毛球運(yùn)動是一個比較簡單的拋體模型，當(dāng)對手擊球后，通過觀察羽毛球的速度和角度，并用手去感受風(fēng)速，再考慮空氣動力學(xué)的修正，通過快速的心算就可以大概判斷出羽毛球的落點(diǎn)，再選擇合適的動作回?fù)?。盡管我感覺到韓同學(xué)可能在裝逼，但機(jī)器人確實(shí)得靠芯算才能打羽毛球。

圖 4: 確實(shí)得靠芯算才能打羽毛球的機(jī)器人

實(shí)際上，羽毛球的運(yùn)動并不簡單。由于羽毛球獨(dú)特的結(jié)構(gòu)（圓錐形，頭重尾輕），羽毛球在飛行過程中會出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)、振蕩和旋轉(zhuǎn)等獨(dú)特的行為。例如，運(yùn)動員在使用球拍拍擊球頭后，羽毛球都要翻轉(zhuǎn)后繼續(xù)向前飛行（圖 5）。本文將建立羽毛球飛行的動力學(xué)模型 [1]，研究羽毛球運(yùn)動的特征，為廣大羽毛球友科學(xué)地裝逼提供指南。

圖 5: 羽毛球被球拍擊中后迅速翻轉(zhuǎn)

簡史

在建立模型之前，本文先介紹一下羽毛球的歷史。早在兩千多年前，一種類似羽毛球運(yùn)動的游戲就在中國、印度等國出現(xiàn)。中國叫打手毽，印度叫浦那，西歐等國則叫做毽子板球。十九世紀(jì)七十年代，英國軍人將在印度學(xué)到的浦那游戲帶回國，作為茶余飯后的消遣娛樂活動。在 14 世紀(jì)末，日本出現(xiàn)了把櫻桃插上美麗的羽毛當(dāng)球，兩人用木板來回對打的運(yùn)動。這便是羽毛球運(yùn)動的原形。

圖 6: 古代中外與毽子和羽毛球相關(guān)畫作

現(xiàn)代羽毛球運(yùn)動誕生在英國。1873年，在英國格拉斯哥郡的伯明頓鎮(zhèn)有一位叫鮑弗特的公爵（dukes of Beaufort），在他的領(lǐng)地開游園會，有幾個從印度回來的退役軍官就向大家介紹了一種隔網(wǎng)用拍子來回?fù)舸螂η虻挠螒?，人們對此產(chǎn)生了很大的興趣。因這項(xiàng)活動極富趣味性，很快就在上層社會社交場上風(fēng)行開來?！安黝D”（Badminton）即成為羽毛球的英文名字。羽毛球于 1992 年巴塞羅那奧運(yùn)會上被列為正式比賽項(xiàng)目。裝逼指南：要熟知以上羽毛球的起源、歷史和文化，這可以作為裝逼時的談資。比如當(dāng)見到心儀的女球友拿著羽毛球時，你可以這樣夸贊她：“你拿羽毛球的樣子真美，如果法國的夏爾丹在世，一定會重繪一幅《拿羽毛球的姑娘》（圖 6 右）”。記住，在說“夏爾丹（Chardin）”時一定要用純正的法語口音。

圖 7: 現(xiàn)代羽毛球運(yùn)動場地、球拍和羽毛球

現(xiàn)代羽毛球運(yùn)動通常是兩人（單打）或四人（雙打）的球場運(yùn)動。標(biāo)準(zhǔn)球場長 13.4 m，寬 5.2 m，被高 1.55 m 的網(wǎng)分隔成兩部分（圖 7 左）。比賽時，運(yùn)動員站在各自的球場上，通過球拍擊打羽毛球，從而使羽毛球越過網(wǎng)并落入對手的半場。羽毛球過網(wǎng)之前，每側(cè)只能擊打一次。一旦羽毛球落地或運(yùn)動員犯規(guī)，則該球結(jié)束并計(jì)分。羽毛球比賽通常采用“21 分制，3局2勝”，一場完整的羽毛球賽持續(xù) 1 小時左右，每局持續(xù) 20 分鐘左右，每球持續(xù) 10 秒左右。如圖 7 右所示，羽毛球由 16 根羽毛構(gòu)成的球裙和軟木球頭組成，其質(zhì)量 m=5.3m=5.3 g 左右，長度 L=10L=10 cm 左右，直徑 D=68D=68 mm 左右，羽毛夾角 Λ=45°\Lambda=45^\circ 左右 [5]。裝逼指南：要記住羽毛球場和羽毛球的這些參數(shù)，在適當(dāng)?shù)臅r候準(zhǔn)確的報(bào)出這些數(shù)字，能瞬間提高逼格，引起異性球友的關(guān)注。

實(shí)驗(yàn)

大量文獻(xiàn)從實(shí)驗(yàn)、理論和數(shù)值角度對羽毛球的運(yùn)動軌跡進(jìn)行了廣泛的研究 [6]。圖 8 是一次實(shí)驗(yàn)中拍攝到的羽毛球運(yùn)動軌跡，快照間隔為 50 ms，羽毛的初始速度為 58 m/s，出球角度（初速度與水平方向的夾角）為 52 °^\circ。

圖 8: 羽毛球運(yùn)動軌跡 [6]

從圖中可以看出，開始羽毛球幾乎以直線飛行，并快速減速，在軌跡頂部速度最小，然后在重力作用重新加速，最終以恒定速度 6.7 m/s 垂直下落。顯然這并不是一條伽利略拋物線：羽毛球的軌跡并不具有對稱性，其射程（圖中顯示約為 9 m）遠(yuǎn)小于預(yù)期（以相同速度和出球角度，按照理想拋物線計(jì)算約為 240 m）。這種不對稱性和射程的減小是由空氣阻力引起的。

也有少量文獻(xiàn)研究了羽毛球在飛行過程中的翻轉(zhuǎn) [1]。圖 9 顯示的是一次實(shí)驗(yàn)中羽毛球與球拍碰撞后，球軸與速度方向的夾角 φ\varphi 隨時間的演變。快照間隔為 5 ms，初始速度 v0≈18.6\mathbf{v}_0\approx 18.6 m/s，初始翻轉(zhuǎn)角速度為 φ˙=206\dot{\varphi} = 206 rad/s。

圖 9: 羽毛球離拍后的角度與速度夾角 [1]

從圖中可以看出，與球拍接觸后（約 1 ms 的時間）, 羽毛球經(jīng)過 τf≈15\tau_f \approx 15 ms 的時間， 球軸方向發(fā)生 180°^\circ 的翻轉(zhuǎn)。然后，球軸以速度方向?yàn)槠胶馕恢眠M(jìn)行阻尼振蕩，直到球軸與速度方向一致為止。振蕩時間τo≈85\tau_o\approx 85 ms。 經(jīng)過約 130 ms 后, 球軸與速度方向一致。

模型

為了分析羽毛球的運(yùn)動特性，需要對作用在羽毛球上的力加以分析。羽毛球被球拍擊中后，主要受到重力 mgm \mathbf{g} 和空氣阻力的作用。在引入空氣阻力之前，我們首先介紹一下流體力學(xué)最重要的概念之一，雷諾數(shù)：

Re=ρvDμ\begin{equation} \mathrm{Re} = \frac{\rho v D}{\mu} \end{equation}\\

其中 ρ\rho 表示流體（空氣）密度，μ\mu 表示流體動力粘度，vv 是物體（羽毛球）相對流體的速度，DD 是物體的特征長度。雷諾數(shù)實(shí)際上是流體的慣性力與粘性力比值的量度，雷諾數(shù)較小時，粘性力對流場的影響大于慣性力，流場中流速的擾動會因粘性力而衰減，流體流動穩(wěn)定，為層流；反之，若雷諾數(shù)較大時，慣性力對流場的影響大于粘性力，流體流動較不穩(wěn)定，流速的微小變化容易發(fā)展、增強(qiáng)，形成紊亂、不規(guī)則的紊流流場。在羽毛球運(yùn)動中，雷諾數(shù)大約在 1.0×1041.0\times 10^4 到 2.0×1052.0\times 10^5 之間，屬于典型的湍流區(qū)。若假設(shè)羽毛球在運(yùn)動的過程中，迎風(fēng)截面積不變，則空氣的阻力可以表示為

FD=?12CdρS|v|v\begin{equation} \mathbf{F}_D = -\frac{1}{2}C_d \rho S \lvert\mathbf{v}\rvert \mathbf{v} \end{equation}\\

上式中右側(cè)負(fù)號表示阻力方向與相對速度方向相反。ρ\rho 為空氣密度，S=π(D/2)2S = \pi (D/2)^2 為羽毛球的截面積，v\mathbf{v} 為羽毛球的速度矢量，|v|\lvert\mathbf{v}\rvert 為速度大小，CdC_d 是阻力系數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，在上述雷諾數(shù)范圍內(nèi)，CdC_d 幾乎是常數(shù)，大概在 0.6 到 0.7 之間 [7,8]。上式表明，物體在空氣（流體）中受到的阻力大小正比于迎風(fēng)橫截面積和相對速度的平方。這很容易理解，生活中有很多例子，例如騎自行車速度越大感受到的風(fēng)阻也越大，專業(yè)自行車選手會通過壓低身體來減小迎風(fēng)截面積。

圖 10: 騎自行車受到阻力示意圖

軌跡

為了像學(xué)霸一樣能夠判斷出羽毛球的落點(diǎn)，我們需要討論羽毛球的宏觀軌跡。從圖 9 的實(shí)驗(yàn)中可知，羽毛球在被擊出之后，其朝向會迅速掉頭，經(jīng)過很短的震蕩過程后朝向會與速度方向保持一致。因此，其迎風(fēng)的截面積在絕大部分時間內(nèi)是不變的。通過上文空氣阻力的分析，可知羽毛球的質(zhì)心運(yùn)動方程為

mdvdt=mg?12CdρS|v|v\begin{equation}\label{eq:dv/dt} m\frac{\mathrmrq488do \mathbf{v}}{\mathrm9w8ykgu t} = m\mathbf{g} - \frac{1}{2} C_d \rho S \lvert\mathbf{v}\rvert \mathbf{v} \end{equation}\\

由 dv/dt=0\mathrmq0mm3se\mathbf{v}/\mathrmpf9j499t=0 可以確定出羽毛球的最終下落速度

v∞=2mgCdρS\begin{equation} v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d \rho S}} \end{equation}\\

如果將羽毛球的運(yùn)動限定在 xx-zz 平面中，則羽毛球的質(zhì)心運(yùn)動方程可改寫為

x¨=?12CdρSx˙x˙+z˙,z¨=?12CdρSz˙x˙+z˙?g\begin{equation} \ddot{x} = -\frac{1}{2}C_d \rho S \dot{x} \sqrt{\dot{x}+\dot{z}}, \quad \ddot{z} = -\frac{1}{2}C_d \rho S \dot{z} \sqrt{\dot{x}+\dot{z}}-g \end{equation}\\

其中 x˙\dot{x}、x¨\ddot{x} 分別表示水平方向坐標(biāo) xx 對時間的一階導(dǎo)數(shù)（速度）和二階導(dǎo)數(shù)（加速度）。應(yīng)用 MATLAB 中的 ode45 函數(shù)對以上微分方程組進(jìn)行數(shù)值積分可求得羽毛球的軌跡。在本文的計(jì)算中，我們?nèi)∮鹈虻馁|(zhì)量 m=5.3m=5.3 g，截面積 S=36S=36 cm2\mathrm{cm}^2，阻力系數(shù) Cd=0.63C_d=0.63，空氣密度 ρ=1.2\rho=1.2 kg/m3\mathrm{kg/m^3}。圖 11 為實(shí)驗(yàn)（點(diǎn)）和計(jì)算（線）得到的羽毛球運(yùn)動軌跡。

圖 11: 實(shí)驗(yàn)和計(jì)算得到的羽毛球運(yùn)動軌跡

結(jié)果表明，計(jì)算給出的不同初速度和出球角度的軌跡曲線與實(shí)驗(yàn)拍攝到的軌跡點(diǎn)非常吻合。這也證實(shí)了在研究羽毛球的軌跡時，可以忽略羽毛球在運(yùn)動的過程中迎風(fēng)截面積的變化。計(jì)算所使用的程序見附錄。

此外，我們通過軌跡的計(jì)算，還可以獲得不同速度大小和出球角度的羽毛球射程。計(jì)算結(jié)果如圖 12 所示，所使用的程序見附錄。

圖 12: 羽毛球射程與初速度和角度的關(guān)系

圖中每條曲線上的最高點(diǎn)表示該初速度下最大射程對應(yīng)的出球角度（最大射程角）。可以證明，在忽略空氣阻力的情況下，出球角度為 45 °^\circ 時射程最大。而有空氣阻力時，初速度越小，羽毛球受空氣阻力影響越小，最大射程角越接近于 45 °^\circ。初速度越大，最大射程角越小。羽毛球的最高飛行速度可達(dá) 170 m/s [9]，容易算出該球速下的最大射程約為 15.5 m。因此，羽毛球不太容易飛出長度為 13.4 m 的羽毛球場。這也是羽毛球平均每回合擊球數(shù)高達(dá) 13.5 次的原因。而網(wǎng)球平均每回合擊球數(shù)只有 3.5 次 [10]。網(wǎng)球的最高射程高達(dá) 67 m，這遠(yuǎn)大于只有 24 m 長的網(wǎng)球場。裝逼指南：這提醒我們裝逼要注意科學(xué)性，千萬不要說出類似“我一拍能打出 16 米”這樣有失逼準(zhǔn)的話。羽毛球的質(zhì)心運(yùn)動方程具有解析解 [11]，該解析解可以給出近似的射程

x0=L2cos?θ0ln?(1+4v02gLsin?θ0)\begin{equation} x_0 = \frac{\mathcal{L}}{2}\cos\theta_0\ln\left(1+4\frac{v_0^2}{g\mathcal{L}}\sin\theta_0\right) \end{equation}\\

其中 L=2m/(ρSCd)\mathcal{L}=2m/(\rho S C_d) 為空氣動力學(xué)特征長度。上式表明，羽毛球的射程取決于初速度 v0v_0 和角度 θ0\theta_0 的大小。我猜測學(xué)霸應(yīng)該就是通過對類似公式進(jìn)行心算來估計(jì)羽毛球落點(diǎn)的。

從質(zhì)心運(yùn)動方程可以看出，羽毛球的軌跡和射程還與空氣的密度相關(guān)。而空氣的密度又取決于溫度 TT 和相對濕度 δ\delta [12]：

ρ=p?Md+100×δ?psat?(Mv?Md)R?(T+273.15)\begin{equation} \rho = \frac{p\cdot M_d + 100\times\delta\cdot p_\mathrm{sat}\cdot (M_v-M_d)}{R\cdot (T+273.15)} \end{equation}\\

其中空氣相對濕度 δ∈[0,1]\delta\in [0,1]，p=101325p=101325 Pa 為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，Md=0.028964M_d=0.028964 kg/mol 為干空氣摩爾質(zhì)量，Mv=0.018016M_v=0.018016 kg/mol 為水蒸氣摩爾質(zhì)量，psat=6.1078×107.5T/(T+237.3)p_\mathrm{sat} = 6.1078\times 10^{7.5T/(T+237.3)} 為水的飽和蒸氣壓，R=8.314R=8.314 J/(K?mol)\mathrm{J/(K\cdot mol)} 為普適氣體常量。此外，羽毛的微觀網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)（圖 13）非常容易凝結(jié)小水滴，因此羽毛球的質(zhì)量還與空氣濕度有關(guān)。

實(shí)驗(yàn)表明，羽毛球質(zhì)量（單位：g）隨空氣相對濕度線性增加：

m=5.16+0.39×δ\begin{equation} m = 5.16 + 0.39\times \delta \end{equation}\\

考慮北方的冬天（假設(shè)溫度為 -10°C^\circ C，相對濕度 30%）和南方的夏天（假設(shè)溫度為 30°C^\circ C，相對濕度 90 %）羽毛球的飛行軌跡，計(jì)算結(jié)果如圖 14，所使用的程序見附錄。

圖 14: 氣溫和濕度對羽毛球軌跡的影響

北方冬天和南方夏天空氣密度可相差 15%，并最終導(dǎo)致羽毛的軌跡和射程有明顯差異。因此，運(yùn)動員在不同季節(jié)和不同地區(qū)打球，可不單是身體適應(yīng)了溫度和濕度的變化就足夠了的。這個結(jié)果同樣也解釋了為何部分選手在打羽毛球之前需要蒸球。裝逼指南：提前查看天氣預(yù)報(bào)并記住溫度和濕度，根據(jù)公式計(jì)算出空氣密度和羽毛球質(zhì)量。在打球時，就可以“指導(dǎo)”迷妹們?nèi)绾斡煤粑惺軡穸?、皮膚感受溫度，來修正羽毛球的軌跡和落點(diǎn)。

翻轉(zhuǎn)

羽毛球在飛行的過程中，還會出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)和振蕩微觀行為。從圖 5 和 9 的實(shí)驗(yàn)中可以看出，迎面飛向運(yùn)動員的羽毛球都是球頭朝前。當(dāng)運(yùn)動員使用球拍擊中羽毛球球頭后，球軸朝向會發(fā)生 180 度的翻轉(zhuǎn)。

圖 15: 不同角度的羽毛球受力示意圖

羽毛球的這種翻轉(zhuǎn)的行為其實(shí)是羽毛球的獨(dú)特結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的。如圖 15 所示，羽毛球的質(zhì)量主要集中于球頭，而球裙的羽毛卻貢獻(xiàn)了大部分截面積。因此，空氣阻力的作用中心和羽毛球質(zhì)心顯然不會重合，這會對羽毛球形成一個凈力矩，使羽毛球頭部朝向其運(yùn)動方向轉(zhuǎn)動。盡管圖 15d 所示的情況也屬于平衡態(tài)，但這種平衡是不穩(wěn)定平衡，極小的氣流擾動就能夠迅速的破壞這一平衡，使之朝著圖 15b 或 c 的情況轉(zhuǎn)變，并最終變?yōu)榉€(wěn)定平衡狀態(tài)（圖 15a）。

圖 16 左是對羽毛球的受力分析，其飛行速度為 \mathbf{v}，重心為 G， 空氣阻力的作用中心為 P，球軸與速度夾角為 \varphi。為了方便分析，我們將羽毛球簡化為圖 16 右所示的兩個圓球。B 球表示球裙，其截面積為 S_B，質(zhì)量為 m_B。C 球表示球頭，其截面積為 S_C，質(zhì)量為 m_C。由角動量定理可以推導(dǎo)（過程見附錄）出羽毛球以速度方向?yàn)槠胶馕恢玫恼駝臃匠蹋?

\begin{equation} \ddot{\varphi}=-\frac{C_x0uquylv\rho\left(L_{GB} S_Bv_B -L_{GC}S_Cv_C\right)}{2m_BL_{GB}^2+2m_CL_{GC}^2} \sin\varphi -\frac{C_d \rho\left(L_{GB}^2 S_Bv_B + L_{GC}^2 S_C v_c\right)}{2,m_B L_{GB}^2+2,m_C L_{GC}^2}\dot{\varphi} \end{equation}\\

考慮到羽毛球重而小的球頭和大而輕的球裙，即 S_B m_c\gg S_Cm_b。以及由質(zhì)心的定義可知 m_B L_{GB}=m_CL_{GC}。并假設(shè) v_B\approx v_C\approx v，則上式可化簡為

\begin{equation}\label{eq:ddotphi2} \ddot{\varphi} + \omega_0^2\dot{\varphi} + \frac{1}{\tau_s}\sin\varphi = 0 \end{equation}\\

其中 \omega_0^2=\rho S_B C_d v^2/2 m L_{GC}，\tau_s =2m_B(1+m_B/m_c)/\rho S_B C_d v。上式是一個阻尼振蕩方程，描述了羽毛球以運(yùn)動方向?yàn)槠胶馕恢玫恼駝印＝穷l率的平方項(xiàng) \omega_0^2 對應(yīng)于空氣阻力產(chǎn)生的穩(wěn)定力矩，而阻尼項(xiàng) 1/\tau_s 則來源于角度變化產(chǎn)生的垂直羽毛球運(yùn)動方向的速度對應(yīng)的阻力。應(yīng)用 MATLAB 中的 ode45 函數(shù)可對以上振動方程和質(zhì)心運(yùn)動方程進(jìn)行耦合求解，圖 17 是通過計(jì)算得到的羽毛球自由下落過程，模擬所使用的程序見附錄。

圖 17: 羽毛球自由下落的計(jì)算機(jī)模擬

根據(jù)振動方程，我們可以估算出羽毛球運(yùn)動的一些特征時間。實(shí)驗(yàn)表明（圖 9），羽毛球翻轉(zhuǎn)的時間小于穩(wěn)定時間。因此在考慮翻轉(zhuǎn)時間時，可以忽略上式中的阻尼項(xiàng) \dot{\varphi}/\tau_s。考慮到初始條件 \varphi(t=0)=\pi 和 \dot{\varphi}(t=0)=\dot{\varphi}_0，對上式進(jìn)行積分有

\begin{equation} \dot{\varphi}^2 = \dot{\varphi}_0^2 + 2\omega_0^2(1+\cos\varphi) \end{equation}\\

則羽毛球翻轉(zhuǎn)時間可表示為

\begin{equation} \tau_f = \int_0^\pi \frac{\mathrm44dz8pz\varphi}{\dot{\varphi}}=\int_0^\pi \frac{\mathrmhwuxafc\varphi}{\sqrt{\dot{\varphi}_0^2+2\omega_0^2(1+\cos\varphi)}} \end{equation}\\

羽毛球振蕩時間可表示為

\begin{equation} \tau_o = \frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{v}\sqrt{\frac{2 m L_{GC}}{\rho S_B C_d }} \end{equation}\\

羽毛球的穩(wěn)定時間為

\begin{equation} \tau_s = \frac{2m_B(1+m_B/m_c)}{\rho S_B C_d v} \end{equation}\\

我們?nèi)?shù) m_C=3.0 g、m_B=2.3 g、S_B=36 \mathrm{cm}^2、C_d = 0.63，L_{GC}=2 cm 和 \rho=1.2 \mathrm{kg/m^3}，從而可以計(jì)算出 \omega_0=66.6。代入上式可得羽毛球翻轉(zhuǎn)時間 \tau_f=14 ms，振蕩時間 \tau_o=94 ms 和穩(wěn)定時間 \tau_s=127 ms。這和圖 9 實(shí)驗(yàn)給出的翻轉(zhuǎn)時間 15 ms 左右、振蕩時間 85 ms 左右和穩(wěn)定時間 130 mm 左右非常吻合。

此外，初始條件中的初始速度 v_0 和初始翻轉(zhuǎn)角速度 \dot{\varphi} 兩者并不獨(dú)立。圖 18 表明羽毛球初始翻轉(zhuǎn)角速度和球裙長度之積 L\cdot \dot{\varphi} 與羽毛球的初速度 v_0 之間存在非常強(qiáng)的線性關(guān)系。換句話說，羽毛球的初速度越大，其初始翻轉(zhuǎn)角速度也越大。

圖 18: 初始角速度與初始速度的關(guān)系

前面討論了羽毛球在受到球拍擊打后的翻轉(zhuǎn)。在大多情況下，這種翻轉(zhuǎn)在對方球員接球之前就已經(jīng)完成。只有當(dāng)羽毛球的穩(wěn)定時間與總飛行時間相當(dāng)時，羽毛球的翻轉(zhuǎn)才會對對方球員造成影響。假定羽毛球在 1 m 的豎直高度上以 15 度角擊出，圖 19 給出了該種情況下羽毛球的穩(wěn)定時間與總飛行時間之比 \tau_s/\tau_0 隨羽毛球射程 x_0/L_\text{field} 的變化（計(jì)算程序見附錄）。

圖 19: 羽毛球的穩(wěn)定時間與射程關(guān)系

其中射程被除了球場長度 L_\text{field}=13.4 m 來進(jìn)行歸一化。從圖 19 可以看出，只要水平身程大于 1.7 m（相應(yīng)的初速度大于 3 m/s），羽毛球穩(wěn)定時間與總飛行時間之比就會迅速下降。即對方球員在接球之前，羽毛球的朝向就已經(jīng)基本與飛行方向一致。這同樣也意味著，對于近網(wǎng)球，你不能簡單的假定自己在回?fù)魰r，羽毛球的球頭是正對著自己飛過來的。

圖 20: 近網(wǎng)球情況下,羽毛球的翻轉(zhuǎn)

另外，穩(wěn)定時間的計(jì)算是建立在羽毛球被正常擊打的前提下的，那么搓球無疑會進(jìn)一步增大翻轉(zhuǎn)對于羽毛球運(yùn)動的影響。裝逼指南：可以通過控制球速（通常出球速度小于 3 m/s）來延長羽毛球的翻轉(zhuǎn)、振蕩和穩(wěn)定時間，讓對手無法擊中羽毛球球頭。

旋轉(zhuǎn)

羽毛球除了會翻轉(zhuǎn)之外，也會繞著中心軸旋轉(zhuǎn)。如圖 21 所示，各片羽毛并不是平攤成一個正多邊形，而是以一個小角度 \beta 相互疊在一起形成一個螺旋形。

圖 21: 穿過羽毛球的流線圖及旋轉(zhuǎn)示意圖

同風(fēng)車、電風(fēng)扇葉片等類似的結(jié)構(gòu)一樣，當(dāng)空氣相對于羽毛球向后流動時，空氣會在垂直羽片方向施加作用力（圖 21）帶動羽毛球旋轉(zhuǎn)。平衡時，羽毛球以一個穩(wěn)定的角速度旋轉(zhuǎn)。該角速度下空氣施加在羽毛上的推進(jìn)力矩和摩擦力矩相等，即%。因此，羽毛球穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)角速度和飛行速度之間的關(guān)系為

\begin{equation} \rho S_p \sin(\Lambda/2)\sin\beta v^2 R \sim \rho S_p \sin(\Lambda/2)\tan\left(\frac{R\Omega}{v}\right)v^2 R \end{equation}\\

其中 S_p 為羽片面積。實(shí)驗(yàn)表明 R\Omega\ll v，因此上式可化為

\begin{equation} R\cdot \Omega \sim \sin\beta\cos\beta, v \end{equation}\\

這表明羽毛球的旋轉(zhuǎn)角速度 \Omega 與飛行速度 v 存在線性關(guān)系。如圖 22 所示，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合驗(yàn)證了這種線性關(guān)系的存在。

圖 22:羽毛球旋轉(zhuǎn)角速度與飛行速度的關(guān)系

這種旋轉(zhuǎn)會對羽毛球的運(yùn)動產(chǎn)生什么樣的影響？是否會因?yàn)樾D(zhuǎn)，離心力將羽毛向外甩開，造成羽毛球有效截面積的增大？實(shí)際上，由于風(fēng)阻的作用，羽毛還會受到一個向內(nèi)的壓力。風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)表明 [1]，無論羽毛球是否旋轉(zhuǎn)，其阻力系數(shù)基本保持不變，即旋轉(zhuǎn)對阻力系數(shù)沒有顯?影響。此外，羽毛球的旋轉(zhuǎn)是否會產(chǎn)生明顯的進(jìn)動，并且有助于其穩(wěn)定朝向呢？進(jìn)一步研究證明，羽毛球繞對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量太低，以至于轉(zhuǎn)動與平動速度比 \Omega R/v \sim 0.04 過小而根本起不到穩(wěn)定朝向的作用。這種效應(yīng)只在羽毛球的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動中才會有一定的貢獻(xiàn)。裝逼指南：羽毛球的旋轉(zhuǎn)對羽毛球的運(yùn)動沒什么明顯的影響，但由于旋轉(zhuǎn)與球速存在正比關(guān)系，對于迎面飛來不太方便觀測速度的球，可以通過球的旋轉(zhuǎn)反推出球速，從而選擇合適的反擊策略。

結(jié)果

前文中，我們建立起了羽毛球的質(zhì)心運(yùn)動方程、球軸的振動方程以及旋轉(zhuǎn)與飛行速度的關(guān)系。接下來，我們將應(yīng)用 MATLAB 中的 ode45 函數(shù)對質(zhì)心運(yùn)動方程和球軸振動方程進(jìn)行耦合求解，由于羽毛球的旋轉(zhuǎn)對其飛行沒有顯?影響，這里不再考慮。圖 23 和 24 是初速度為 v_0=50 m/s、初速度角為 \theta_0=50^\circ 的羽毛球運(yùn)動的模擬結(jié)果。

圖 23: 羽毛球運(yùn)動的模擬動畫圖 24: 羽毛球翻轉(zhuǎn)角度隨時間的變化

模擬所使用的參數(shù)為：球頭和球裙質(zhì)量分別為 m_C=3.3 g 和 m_B=2 g，直徑分別為 d_C=3.2 cm 和 d_B=6.8 cm，羽毛球質(zhì)心與球頭質(zhì)心的距離 L_{GC}=2 cm。模擬所使用的程序見附錄。模擬結(jié)果顯示，羽毛球在飛行的初始階段翻轉(zhuǎn)和振蕩得比較厲害，而后逐漸趨于穩(wěn)定，后期羽毛球朝向基本與飛行速度一致。這和我們之前的分析和實(shí)驗(yàn)觀測一致。裝逼指南：打羽毛球時帶上筆計(jì)本電腦，每打完一局休息階段，可用本文提供的模型和程序?qū)Ρ荣愔械拿恳磺蜻M(jìn)行復(fù)盤。必要時，可向心儀的異性球友演示模擬結(jié)果，并專注地看著模擬動畫說出類似這樣的話：果然和我心算的結(jié)果一樣，剛才那球要是出球角再增加 5 度，出球速度再下調(diào) 2.3 m/s 就更完美了。

結(jié)論

羽毛球的動力學(xué)及其對比賽的影響一直倍受關(guān)注。由于羽毛球獨(dú)特的結(jié)構(gòu)（圓錐形，頭重尾輕），使得空氣阻力的作用中心和羽毛球質(zhì)心并不重合。這導(dǎo)致了羽毛球在飛行過程中會出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)、振蕩和旋轉(zhuǎn)等獨(dú)特的行為。本文通過理論和模擬對羽毛球獨(dú)特的行為進(jìn)行了研究，并為科學(xué)的裝逼提供了寶貴的意見：

要熟知羽毛球的起源、歷史和文化，這可以作為裝逼時的談資。要記住羽毛球場和羽毛球的參數(shù)，在適當(dāng)?shù)臅r候準(zhǔn)確的報(bào)出這些數(shù)字。裝逼要注意科學(xué)性，千萬不要說出違反物理規(guī)律、有失逼準(zhǔn)的話。提前查好參數(shù)，做好計(jì)算。打球時，就可以演示如何用呼吸感受濕度、皮膚感受溫度，來修正羽毛球的軌跡和落點(diǎn)?？梢酝ㄟ^控制球速來延長羽毛球的翻轉(zhuǎn)、振蕩和穩(wěn)定時間，來讓對手無法擊中羽毛球球頭?？赏ㄟ^羽毛球的旋轉(zhuǎn)來反推出球速，從而選擇合適的反擊策略。可用本文提供的模型和程序?qū)Ρ荣愔械拿恳磺蜻M(jìn)行復(fù)盤，并向球友演示復(fù)盤后優(yōu)化的結(jié)果。

提示：本文的裝逼指南僅適用于羽毛球打的好、數(shù)學(xué)物理又不差的人。如果羽毛球打得很爛，又強(qiáng)行裝逼，往往只會顯得畫蛇添足。羽毛球打得好的人，不僅體力好，腦子也快。這樣的人一般很討人異性喜歡。我一陳姓師弟，就因?yàn)橛鹈虼虻煤?，現(xiàn)已迎娶白富美球友，走向人生巔峰。要是再讓他學(xué)會此裝逼指南，必定是如虎添翼。不說了，我要喊他來學(xué)裝逼指南了。

附錄

本文PDF版和所有程序數(shù)據(jù)見：

參考資料

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